Bienvenida

En el marco de la XV Semana Cultural 2012 del Colegio Eucarístico, como estudiantes de Primer Año de Bachillerato, se nos asigno dentro de la asignatura de Matemáticas, el Proyecto de Investigación “Relaciones y Funciones Matemáticas”.

Relaciones Matematicas

RELACIONES MATEMÁTICAS

Correspondencia es igual que Relación, “En relación a” es equivalente a decir “Corresponde a” por lo tanto una Relación Matemática, es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio (Conjunto de partida), con un segundo conjunto llamado Rango (Conjunto de Llegada), de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del rango.

Ejemplo:

Dados dos conjuntos A y B,

A = {2, 3}  y  B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

El producto cartesiano de A x B está conformado por los siguientes pares ordenados:

A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1:

R1 =  {(x, y) / y = 1}.

R1 =  {(2, 1), (3, 1)}

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente:

R2 = {(x, y) / x < y}

R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente:

R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}

R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B.

Las reglas que definen una relación matemática, puede escribirse mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de “X, Y”. Estas reglas son un medio para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo:

Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}.

Encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación

R =  {(x, y) / x + y = 3}

El producto cartesiano de C x D, se forma por los siguientes pares ordenados

C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}

Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:

R =  {(1, 2), (–3, 6)}

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión  x + y = 3  es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Dominio y Rango de una relación

Dominio y Rango de una relación

Dominio de una relación: Conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados.

Rango de una relación: Conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que están relacionados.

Ejemplo:

Sea A = {1, 2, 3, 4}  y B = {4, 5, 6, 7, 8}

La relación definida de A en B, está determinada por la regla “Y es el doble de X” o 

“Y = 2X”, encontrar dominio y rango de la relación.

Solución

El total de pares ordenados que se forman, o producto cartesiano son:

A x B =  {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

Los pares que pertenecen a la relación R (Y = 2X) son:

R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

Por lo tanto el Dominio y el Rango son:

D = {2, 3, 4}    R = {4, 6, 8}

Representación Gráfica de las Relaciones

Representación Gráfica de las Relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagrama sagital o por medio de puntos en el plano cartesiano.

Ejemplo:

Si  A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla:

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar  R.

Solución:

Los pares ordenados que cumplen con y = 2x + 1 son:

R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Y las gráficas correspondientes son las siguientes:

Funciones matematicas

FUNCIONES MATEMÁTICAS

Función en matemáticas, es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto.

Estamos en presencia de una función cuando:

·       De cada elemento del primer conjunto o conjunto de partida solamente sale una única flecha.

·    Ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen o con dominio.

No estamos en presencia de una función cuando:

·       De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.

·       De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto. 

Dos variables “X, Y” están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y. 

La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variable dependiente. 

Los valores de X constituyen el dominio de la función y los valores que toma Y constituyen su con dominio o recorrido".

Ejemplo

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

X= 2x + 3 o f(x) = 2x + 3

Dominio de una Funcion

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0	3	f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1	5	f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2	7	f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3	9	f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9

§  Todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y).

§  Todos y cada uno Significa que: No puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y.

§  A uno y sólo a uno significa que: A un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Dominio de una función

Conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la Variable Independiente (X).

Por ejemplo: la función f(x) = 3x2 – 5x

Está definida para todo número real, ya que X puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

Rango de una función

Conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la Variable Dependiente (Y); estos valores están determinados por el dominio de la función.

Álgebra de Funciones

Álgebra de Funciones: Suma, Resta, Multiplicación y División de Funciones

Ejemplo de Suma de funciones

Ejemplo de Resta de funciones

Ejemplo de Multiplicación de funciones.

Ejemplo de División de funciones

Nota: Se factorizó por (x − 1)

Tipos de funciones

Tipos de funciones

Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica de la función f en x, se tendrán distintos tipos de funciones:

Función Constante

Función Constante

Función de la forma:

f(x) = b, donde “b” es una constante.

Ejemplo: f(x) = 3.

El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es “3”, por tanto y = 3.

En la gráfica  se observa que es una recta horizontal.

Función Lineal

Función Lineal

Las funciones lineales son:

·       Funciones Polinómicas.

·       Función de la forma f(x) = mx + b

Donde:

m representa la pendiente, la cual indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

b representa el intercepto en Y.

·       Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

·       Su representación gráfica es una recta

Ejemplo:

·       La función f(x) = 2x − 1 es una función lineal.

·       Con pendiente m = 2 e intercepto en Y en (0, −1).

·       Su gráfica es una recta ascendente.

Función cuadrática

Función cuadrática

Ecuación de la forma:

 f(x) = ax² + bx + c,

Donde:

a, b y c, llamados términos, son números reales cualesquiera, son constantes.

a es distinto de cero (Puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero).

El valor de b y de c sí puede ser igual a cero.

ax² es el término cuadrático, bx es el término lineal, y c es el término independiente

Si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

La Representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada Parábola.

Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. 

 El vértice de una parábola es el punto de intersección del eje de simetría con la parábola.

Se determina por la fórmula:

Funciones Raíz Cuadrada

Funciones Raíz Cuadrada:

Se escribe de la forma:   

Su dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo que significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría  de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada

El gráfico de la función raíz cuadrada es:

 

 Pueden aplicarse traslaciones horizontales, hacia la derecha si: x − 1, y hacia de izquierda si: x + 1.

F(x)= √x-1 muestra que f(x)= √x

Se ha trasladado una unidad hacia la derecha.

f(x)= √x+3 muestra que f(x)= √x

Se ha trasladado tres unidades hacia la izquierda.